K12     SRT mit Penrose-Diagrammen


Es gibt aber noch etliche weitere Möglichkeiten, relativistische Zusammenhänge graphisch darzustellen. Die beiden britischen Mathematiker B. Carter und R. Penrose haben eine Abbildung präsentiert, welche die unendlich ausgedehnte Minkowski-Ebene so auf ein Quadrat abbildet, dass Lichtstrahlen weiterhin Geraden sind, die parallel zu einer der beiden Winkelhalbierenden verlaufen. Linien von konstanter Zeit oder konstantem Ort werden dabei zu Hyperbeln. In der Bildmitte sieht man unverzerrt das lokale Geschehen, während entfernte Ereignisse sehr zusammengedrängt werden:

Diese Abbildung stammt aus der freien Enzyklopädie Wikipedia. Auf der bereits erwähnten Internetseite von Franz Embacher  http://homepage.univie.ac.at/Franz.Embacher/Rel/ findet man auch ein Java-Applet, welches einem erlaubt, mit dieser Koordinatentransformation zu spielen. Spielt man ernsthaft und löst auch die gestellten Aufgaben, so hat man schon ein gutes Gefühl dafür, was diese Abbildung leistet.

Als Funktion, die streng monoton steigend ist, in der Nähe des Nullpunktes nichts ändert (also f(x) ≈ x), und die für  x –> ∞ einen endlichen Grenzwert hat, wird der ArcusTangens verwendet. Die Spitzen des obigen Quadrates liegen also  ± π/2  vom Nullpunkt entfernt. Die Abbildung von der Minkowski-Ebene in die Penrose-Welt ist durch die folgenden Gleichungen definiert:

x’ + t’  =  ArcTan (x + t)          und        x’ – t’  =  ArcTan (x – t)

Addition respektive Subtraktion dieser Gleichungen liefert sofort die Transformationsgleichungen für  x’  respektive  t’  alleine. Es ist leicht zu zeigen, dass vom Nullpunkt ausgehende Lichtstrahlen auch im Penrose-Diagramm solche winkelhalbierenden Geraden sind. Zeigen Sie, dass alle Lichtsignale auf Parallelen zu diesen Geraden laufen!

Und: Finden Sie selber eine Abbildung, die Ähnliches leistet! Ist der ArcusTangens wirklich besser als Ihr Vorschlag?